What (who) is Обратные тригонометрические функции - definition

Обра́тные тригонометри́ческие фу́нкции (круговые функции, аркфункции) — математические функции, являющиеся обратными к тригонометрическим функциям. К обратным тригонометрическим функциям обычно относят шесть функций:

• арксинус (обозначение: ${\displaystyle \arcsin x;}$ угол, синус которого равен ${\displaystyle x}$)
• арккосинус (обозначение: ${\displaystyle \arccos x;}$ угол, косинус которого равен ${\displaystyle x}$ и т. д.)
• арктангенс (обозначение: ${\displaystyle \operatorname {arctg} x}$; в иностранной литературе ${\displaystyle \arctan x}$)
• арккотангенс (обозначение: ${\displaystyle \operatorname {arcctg} x}$; в иностранной литературе ${\displaystyle \operatorname {arccot} x}$ или ${\displaystyle \operatorname {arccotan} x}$)
• арксеканс (обозначение: ${\displaystyle \operatorname {arcsec} x}$)
• арккосеканс (обозначение: ${\displaystyle \operatorname {arccosec} x}$; в иностранной литературе ${\displaystyle \operatorname {arccsc} x}$)

Название обратной тригонометрической функции образуется от названия соответствующей ей тригонометрической функции добавлением приставки «арк-» (от лат. arcus — дуга). Это связано с тем, что геометрически значение обратной тригонометрической функции можно связать с длиной дуги единичной окружности (или углом, стягивающим эту дугу), соответствующей тому или иному отрезку. Так, обычный синус позволяет по дуге окружности найти стягивающую её хорду, а обратная функция решает противоположную задачу. Манера обозначать таким образом обратные тригонометрических функции появилась у австрийского математика XVIII века Карла Шерфера и закрепилась благодаря Лагранжу. Впервые специальный символ для обратной тригонометрической функции использовал Даниил Бернулли в 1729 году. Английская и немецкая математические школы до конца XIX века предлагали иные обозначения: ${\displaystyle \sin ^{-1},{\frac {1}{\sin }},}$ но они не прижились. Лишь изредка в иностранной литературе, также как и в научных/инженерных калькуляторах, пользуются обозначениями типа sin⁻¹, cos⁻¹ для арксинуса, арккосинуса и т. п., — такая запись считается не очень удобной, так как возможна путаница с возведением функции в степень −1.

Тригонометрические функции периодичны, поэтому функции, обратные к ним, многозначны. То есть, значение аркфункции представляет собой множество углов (дуг), для которых соответствующая прямая тригонометрическая функция равна заданному числу. Например, ${\displaystyle \arcsin 1/2}$ означает множество углов ${\displaystyle \left({\frac {\pi }{6}},{\frac {5\pi }{6}},{\frac {13\pi }{6}},{\frac {17\pi }{6}}\dots ~(30^{\circ },150^{\circ },390^{\circ },510^{\circ }\dots )\right)}$, синус которых равен ${\displaystyle 1/2}$. Из множества значений каждой аркфункции выделяют её главные значения (см. графики главных значений аркфункций ниже), которые обычно и имеют в виду, говоря об арксинусе, арккосинусе и т. д.

В общем случае при условии ${\displaystyle -1\leqslant \alpha \leqslant 1}$ все решения уравнения ${\displaystyle \sin x=\alpha }$ можно представить в виде ${\displaystyle x=(-1)^{n}\arcsin \alpha +\pi n,~n=0,\pm 1,\pm 2,\dots ~.}$